衝刺中考：比例線段與相似三角形值得我們研習的經典中考試題

01

單元學法

本單元知識點為位似變形、成比例線段、相似圖形和相似三角形。

考題呈現：第一類是直接考查相關定義。比如第5題。 考點位似變換．分析根據平移、旋轉變換、軸對稱變換和位似變換的性質進行判斷即可．

解答解：平移的性質是把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，則平移變換是“等距變換”；

旋轉的性質：旋轉前、後的圖形全等，則旋轉變換是“等距變換”；

軸對稱的性質：成軸對稱的兩個圖形全等，則軸對稱變換是“等距變換”；

位似變換的性質：位似變換的兩個圖形是相似形，則位似變換不一定是等距變換，

故選：D．

點評本題考查的是平移、旋轉變換、軸對稱變換和位似變換，理解“等距變換”的定義、掌握平移、旋轉變換、軸對稱變換和位似變換的性質是解題的關鍵．

考題呈現：第二類是對初中各學段知識進行小綜合考查。比如第12題。 分析設

AF

＝

x

，根據正方形的性質用

x

表示出

EF

、

CF

，證明△

AEF

∽△

ABC

，根據相似三角形的性質求出

BC

，根據勾股定理列式求出

x

，根據三角形的面積公式、正方形的面積公式計算即可．

解答解：設

AF

＝

x

，則

AC

＝3

x

，

∵四邊形

CDEF

為正方形，

∴

EF

＝

CF

＝2

x

，

EF

∥

BC

，

∴△

AEF

∽△

ABC

，

∴

BC

＝6

x

，

在Rt△

ABC

中，

AB

2＝

AC

2+

BC

2，即302＝（3

x

）2+（6

x

）2，

故選：

A

．

考題呈現的第三種方式是進行大綜合考查，比如下題：

26。本題考查的是相似三角形的應用、正方形的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．

考點相似形綜合題．分析（1）證明△ABC∽△DEF，根據相似三角形的性質解答即可；（2）①根據等腰直角三角形的性質和等腰三角形的性質進行計算即可；②根據圓錐的側面展開圖的知識和扇形的弧長公式計算，得到扇形的圓心角，根據T（A）的定義解答即可．

解答解：（1）∵AB=AC，DE=DF，

又∵∠A=∠D，

∴△ABC∽△DEF，

（2）①如圖1，∠A=90°，AB=AC，

如圖2，∠A=90°，AB=AC，

作AD⊥BC於D，

則∠B=60°，

∵AB﹣AC＜BC＜AB+AC，

∴0＜T（α）＜2，

②∵圓錐的底面直徑PQ=8，

∴圓錐的底面周長為8π，即側面展開圖扇形的弧長為8π，

設扇形的圓心角為n°，

解得，n=160，

∵T≈1。97，

∴螞蟻爬行的最短路徑長為1。97×9≈17。7．

現在，我們去研究近8年的中考真題吧。

02

閱讀說明

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03

中考真題精選

04

參考答案

05

經典題目解析

一、選擇題

4。 考點位似變換．分析先求出位似比，根據位似比等於相似比，再由相似三角形的面積比等於相似比的平方即可．點評此題是位似變換，主要考查了位似比等於相似比，相似三角形的面積比等於相似比的平方，解本題的關鍵是掌握位似的性質．

5。 考點位似變換．分析根據平移、旋轉變換、軸對稱變換和位似變換的性質進行判斷即可．點評本題考查的是平移、旋轉變換、軸對稱變換和位似變換，理解“等距變換”的定義、掌握平移、旋轉變換、軸對稱變換和位似變換的性質是解題的關鍵．

6。 考點位似變換；座標與圖形性質．分析利用位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那麼位似圖形對應點的座標的比等於k或﹣k進行求解．點評此題主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質以及銳角三角函式關係，正確得出△PAM∽△QBM是解題關鍵．

8。點評此題主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質以及銳角三角函式關係，正確得出△PAM∽△QBM是解題關鍵．

9。 考點位似變換；座標與圖形性質；正方形的性質．分析直接利用位似圖形的性質結合相似比得出AD的長，進而得出△OAD∽△OBG，進而得出AO的長，即可得出答案．

10。 分析根據題意求出長方形廣告牌每平方米的成本，根據相似多邊形的性質求出擴大後長方形廣告牌的面積，計算即可．

12。 分析設

AF

＝

x

，根據正方形的性質用

x

表示出

EF

、

CF

，證明△

AEF

∽△

ABC

，根據相似三角形的性質求出

BC

，根據勾股定理列式求出

x

，根據三角形的面積公式、正方形的面積公式計算即可．點評本題考查的是相似三角形的應用、正方形的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．

13。點評本題考查了相似三角形的應用：常常構造“

A

”型或“

X

”型相似圖，利用對應邊成比例求相應線段的長．也考查了正方形的性質．

14。 分析直接利用位似圖形的性質進而分別分析得出答案．點評此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質是解題關鍵．

15。 分析設

DE

＝

x

，則

AD

＝8﹣

x

，由長方體容器內水的體積得出方程，解方程求出

DE

，再由勾股定理求出

CD

，過點

C

作

CF

⊥

BG

於

F

，由△

CDE

∽△

BCF

的比例線段求得結果即可．點評本題考查了勾股定理的應用、長方體的體積、梯形的面積的計算方法；熟練掌握勾股定理，由長方體容器內水的體積得出方程是解決問題的關鍵．

二、填空題

16。 考點位似變換；一次函式圖象上點的座標特徵．分析首先解得點A和點B的座標，再利用位似變換可得結果．

17。 分析直接利用位似圖形的性質進而分析得出答案．點評此題主要考查了位似變換，正確得出對應邊的比值是解題關鍵．

18。 分析先判斷出

DE

是△

ABC

的中位線，再根據三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊的一半可得

AB

＝2

DE

，問題得解．點評本題考查了三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊的一半，熟記定理並準確識圖是解題的關鍵．

19。點評本題考查的是座標與圖形的變化，涉及到一次函式、解直角三角形等知識，本題關鍵是弄懂題意，正確畫圖．

20。 分析根據同一時刻物高與影長成正比即可得出結論．點評本題考查的是相似三角形的應用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題的關鍵．

三、應用題

24。 考點作圖-位似變換；作圖-平移變換．分析（1）將A、B、C三點分別向左平移6個單位即可得到的△A1B1C1；（2）連線OA、OC，分別取OA、OB、OC的中點即可畫出△A2B2C2，求出直線AC與OB的交點，求出∠ACB的正弦值即可解決問題．點評本題考查位似變換、平移變換等知識，銳角三角函式等知識，解題的關鍵是理解位似變換、平移變換的概念，記住銳角三角函式的定義，屬於中考常考題型．

25。 考點相似三角形的應用．分析根據鏡面反射原理結合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，進而利用相似三角形的性質得出AB的長．

26。 考點相似形綜合題．分析（1）作AF⊥BC，判斷出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；點評此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質，中點的定義，解本題的關鍵是作出輔助線，也是本題的難點．

27。 考點作圖-位似變換；作圖-軸對稱變換．分析（1）根據位似圖形可得位似比即可；（2）根據軸對稱圖形的畫法畫出圖形即可；（3）根據三次變換規律得出座標即可．

28。 考點相似形綜合題．分析（1）證明△ABC∽△DEF，根據相似三角形的性質解答即可；（2）①根據等腰直角三角形的性質和等腰三角形的性質進行計算即可；②根據圓錐的側面展開圖的知識和扇形的弧長公式計算，得到扇形的圓心角，根據T（A）的定義解答即可．

30。 分析（1）根據比例三角形的定義分AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC三種情況分別代入計算可得；（2）先證△ABC∽△DCA得CA2=BCAD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得。